2.3 Káoszszabályozás

All stable processes, we shall predict.
All unstable processes, we shall control.
John von Neumann, circa1950.

A káoszszabályozás fogalma nem szerepel a Magyar Értelmező Kéziszótár 1972-es kiadásában. Ez nem véletlen. Még az 1980-as évek végén is általánosan elterjedt volt az a nézet, hogy a kaotikus rendszerek nem szabályozhatók. A Wolf-díjjal 1981-ben kitüntetett angol-amerikai matematikus-fizikus Freeman Dyson egy 1985-ben tartott előadásában, melynek szövege egy későbbi kiadású könyve (Dyson, 1988) „Engineers Dreams” című fejezetében olvasható, a következőket mondta:

„A chaotic motion is generally neither predictable nor controllable. It is unpredictable because a small disturbance will produce exponentially growing perturbation of the motion. It is uncontrollable because small disturbances lead only to other chaotic motions and not to any stable and predictable alternative. Von Neumann’s mistake was to imagine that every unstable motion could be nudged into a stable motion by small pushes and pulls applied at the right places.”

Az elmúlt évtized kutatásainak eredményeként Neumann János álma végül mégis csak beteljesülni látszik. A kaotikus rendszerek szabályozására elsőként Hübler és Lüscher (1989) javasolt megoldást. Módszerük – amely a differenciálegyenlet-rendszer szisztematikus átalakításán alapul – modellszámításokban jól m\ködik, de valós rendszerekre nehezen alkalmazható. Az első, kísérletileg is könnyen megvalósítható eljárást Ott, Grebogi és Yorke (OGY) közölte 1990-ben, s ez valódi áttörést jelentett a témakörben. A Physics Reports-ban ez év elején megjelent „THE CONTROL OF CHAOS: THEORY AND APPLICATIONS” című, közel százoldalas „Review” cikkben Boccaletti és szerzőtársai 197 hivatkozás segítségével foglalták össze az elmúlt évtized kutatásainak legjelent?sebb eredményeit (Boccaletti, 2000). Az OGY–módszert sikerrel alkalmazták például mechanikai és hidrodinamikai rendszerek, elektromos berendezések, lézerforrások, sejtrendszerek (szív- és agyszövet minták) és közgazdasági modellek kaotikus viselkedésének szabályozára is. Egy kémiai rendszer (a BZ–reakció) kaotikus viselkedésének sikeres szabályozásáról elsőként mi számoltunk be [3].

Az értekezésben összefoglalt kísérletekben alkalmazott, az OGY–módszer egyszerűsített változatának tekinthető eljárás ismertetése előtt definiálni szeretném, hogy pontosan mit értünk a káosz szabályozásán.

A káoszszabályozás azt jelenti, hogy a véletlenszerű aperiodikus mozgást kicsiny perturbációk alkalmazásával előrejelezhető periodikus mozgássá alakítjuk.

Nem tekintjük káoszszabályozásnak azt, ha egy paraméter értékét úgy változtatjuk meg, hogy az új érték a bifurkációs diagramban a káosz tartományán kívülre esik, mert így a rendszer valójában elveszíti kaotikus jellegét. Ezzel szemben, ha egy sikeres káosz-szabályozást követően a perturbációkat megszüntetjük, a rendszer ismételten kaotikusan fog viselkedni.

A káoszszabályozás alapgondolata az, hogy a kaotikus mozgás nem akármilyen módon, hanem bizonyítottan a kaotikus attraktoron történik. Ahogyan az egyszerű oszcillációhoz rendelhető stabilis határciklus belsejében megtaláltható az instabilissá vált egyensúlyi pont, úgy a kaotikus attraktor belsejében is megtalálható a káoszhoz vezető bifurkációk során instabilissá vált valamennyi periodikus attraktor. A káoszszabályozáskor tehát szinte végtelen a lehetőségek száma egy instabilissá vált dinamikai állapot újbóli stabilizálására, majd egy másik állapot stabilizálására stb., tetszés szerint. Ha eldöntöttük, hogy melyik jelenséghez hasonló dinamikai állapotot szeretnénk újból előállítani, a kaotikus rendszert – kicsiny perturbációk alkalmazásával – a kívánt állapotnak megfelelő instabilis periodikus pálya infinitezimális közelségébe tereljük, majd pedig ott tartjuk.

A káoszszabályozási módszereket két nagy csoportba osztjuk. A szakaszos módszerek alkalmazásakor a szabályozó paraméter értékét csak meghatározott időközönként, a folytonos módszerekben pedig folyamatosan változtatjuk. A perturbációk nagyságát mindkét esetben a rendszer állapotának ismeretében határozzuk meg, melynek részleteit az egyes módszerek tárgyalásakor ismertetem.

A szakaszos módszer alkalmazásához először rekonstruálni kell a kaotikus attraktort a rendszer dinamikai változóinak n-dimenziós fázisterében. A kísérleti munka során azonban legtöbbször nincs lehetőségünk arra, hogy egy dinamikai rendszer összes változáját nyomon követhessük. Nagyon gyakran csak egyetlen változó (például egy köztitermék koncentrációja) vagy több változó értékétől függű összetett „jel” (például elektródpotenciál, fényelnyelés, az áramkör teljes árama stb.) mérésére van lehetőségünk.

Ha csak egyetlen jel időbeli változását, x(t), ismerjük, akkor az attraktort az ún. rekonstrukciós eljárással állítjuk elő (Takens, 1981): egy m-dimenziós fázistérben ábrázoljuk az x(t), x(t–τ), x(t–2τ ), …, x[t–(m–1)τ ] értékeket, ahol m a rekonstruált fázistér dimenziója, τ pedig az eljárás során alkalmazott ún. késleltetési idő. Ennek értéke elvileg tetszőlegesen választható.

Gyakorlati tapasztalat, hogy az optimális érték az egymást követő minimumok vagy maximumok között mérhető „periódusidő” egytizede és egyharmada között van. Bizonyították, hogy a rekonstruált attraktor topológialiag ekvivalens a rendszer eredeti n-dimenziósattraktorával, ha m ³ (2n + 1). Kísérleteink azt mutatták, hogy a sikeres káoszszabályozáshoz nem mindig szükséges a topológiailag ekvivalens attraktort rekonstruálni. Az alacsony dimenziójú kaotikus rendszerekben – a legtöbb ismert kaotikus kémiai rendszer ilyen – elegendő az x(t) és x(t–τ) értékeket használni. A BZ–rendszer ilyen eljárással rekonstruált kaotikus attraktorát a [3]/1. ábra, a réz–ortofoszforsav elektrokémia rendszer kaotikus attraktorát pedig a [6]/5. ábra mutatja.

A réz-ortofoszforsav elektrokémiai rendszer kaotikus attraktora. A belső kis ábra a Poincaré-egyenes mentén gyűjtött adatokból szerkesztett egydimenziós leképezést mutatja (lásd később).

A káosz szabályozáshoz ismernünk kell a rendszer mozgását a kaotikus attraktoron. Ezért az n-dimenziós fázistérben elhelyezünk egy (n–1)-dimenziós hipersíkot (ún. Poincaré–síkot) úgy, hogy az elmetssze a kaotikus attraktort. Ezután nyomon követjük a kaotikus mozgást, és rögzítjük az azonos, előre kiválasztott irányból érkező pályavonalak és a hipersík ismétlődő metszéséhez tartozó
x₁, x₂, …, x_i, x_i+1 metszéspontok koordinátáit. Mivel a kaotikus rendszer determinisztikus és autonóm, x_i értéke egyértelműen meghatározza a következő metszéshez tartozó x_i+1 értékét. Az n-dimenziós kaotikus rendszer dinamikáját tehát leírhatjuk egy eggyel kisebb, (n–1)-dimenziójú diszkrét leképezéssel:

.                                                         (2.19)

A leképezés  „stacionárius pontját", ahol

,                                                              (2.20)

a leképezés fixpontjának nevezzük. Mivel a fixpontban  x_i+1 = x_i, a fixpont része az instabilis periodikus pályának is. A P-1 állapot stabilizásához – pontosabban a periodikus pályának megfelelő instabilis fixpont stabilizálásához – a rendszert először a Poincaré–síkon a fixpont közelébe tereljük, vagy csak egyszerűen megvárjuk, hogy odakerüljön (mivel a kaotikus rendszer ergodikus, ez előbb-utóbb be is következik). Ekkor olyan perturbációt alkalmazunk, hogy a pályavonal a következő metszéskor is a fixpont közelében maradjon. Ha a leképezést csak minden második metszéspontra vonatkozó adatokból készítjük el, akkor az instabilis fixpont egy P–2 típusú periodikus pályához rendelhető, s így a minden második metszéskor alkalmazott perturbációval a biperiodikus oszcillációt tudjuk szabályozni stb.

Mivel a réz–ortofoszforsav kaotikus elektrokémiai rendszerben az áramadatokból rekonstruált attraktor kétdimenziós, a Poincaré–sík helyett elegendő egy egyenest definiálni. Az így gyűjtött adatokból szerkesztett egydimenziós leképezések, (x_i+1 vs x_i) és (x_i+2 vs x_i), a [6]/5. és [6]]/8. ábrán láthatók. A BZ–rendszer kaotikus viselkedésének szabályozásához, technikai okok miatt, nem egy Poincaré–egyenesen gyűjtött adatokból, hanem egy bromidion-szelektív elektróddal mért elektródpotenciál–idő görbe egymást követő ciklusainak amplitudójából készítettünk egydimenziós leképezést ([3]/2. ábra). A leképezéssekkel kapott pontok – mindhárom hivatkozott ábrán – egy-egy jól meghatározott görbére esnek. Ezek létezése demonstrálja talán a legszebben a káosz determinisztikus jellegét, a káoszban uralkodó rendet.

A káoszszabályozás lényege a rendszer megfelelő perturbálása annak érdekében, hogy a pályavonal a következő ciklusban is a fixpont közelében maradjon, vagy ideális esetben a fixpontba kerüljön. A perturbáció nagyságának kiszámításra javasolt OGY–módszert – amely jól használható alacsony dimenziójú kaotikus rendszerek szabályozására – Petrov és munkatársai (1995a) általánosították komplex kaotikus rendszerekre. E nagy matematikai apparátust igénylő módszerek részleteinek tárgyalására az értekezés keretei nem adnak lehetőséget. Az érdeklődő olvasónak tanulmányozásra javaslom a már idézett összefoglaló cikket (Boccaletti, 2000).

Az értekezésben összefoglalt káoszszabályozási kísérleteinkben az OGY–módszer egyszerűsített változatát az ún. egyszerű arányos visszacsatolás módszerét alkalmaztuk (Peng, 1991, 1992; Petrov, 1992). A továbbiakban ezt az eljárást ismertetem röviden, s az egyszerűség kedvéért a szakirodalomban elterjedt elnevezés: Simple Proportinal Feedback kezdőbetűiből képzett rövidítést (SPF–módszer) fogom használni.

Az SPF–módszer azon a megfigyelésen alapszik, hogy alacsony dimenziójú kaotikus rendszerekben a bifurkációs paraméter értékének kicsiny megváltoztatásakor képződő új kaotikus attraktor nagyon hasonló az eredeti attraktorhoz. Így az új attraktorból szerkeszthető új leképezés is nagyon hasonló az eredetihez. Feltételezzük, hogy a paraméter perturbálásának hatására az egydimenziós leképezés egyszerűen csak párhuzamosan eltolódik az alkalmazott koordinátarendszer diagonálisa mentén (lásd [3]]/2. és [6]/6. ábrákat). Egyszerű geometriai megfontolások alapján – 2.2. ábra – a perturbáció kiszámítására alkalmas ún. szabályozási formula a következőképpen vezethető le.

2.2.  ábra Az SPF–módszerrel történő káoszszabályozás geometriai értelmezése.

Legyen p a vizsgált rendszer bifurkációs paramétere, amelyet a szabályozás során perturbálni fogunk. Tegyük fel, hogy p = p_o értéknél a rendszer kaotikus. Így az egydimenziós leképezés fixpontja instabilis. A fixpont értékét az egydimenziós leképezés és a diagonális (x_i+1 = x_i) metszéspontjából határozhatjuk meg.

Legyen a leképezésen az n-edik ciklusbeli érték x_n. Célunk az, hogy a rendszer az (n+1)-edik ciklusban a fixpontba kerüljön, azaz teljesüljön. Ezt úgy érhetjük el, hogy a p paraméter értékét az (n+1)-edik ciklusban pontosan annyival változtatjuk meg (dp_n), hogy az új leképezés az eredeti leképezés fixpontjába juttassa a rendszert.

Ehhez először is ismernünk kell x_n távolságát (dx_n) a fixponttól, mely az ábráról leolvasva:

.                                          (2.21)

A leképezés párhuzamos eltolásával a fixpont is eltolódik. Az eltolódás nagysága az ábra szerint:

.                             (2.22)

Tételezzük fel, hogy a fixpont eltolódása egyenesen arányos a paraméterperturbációval:

,                                                                       (2.23)

ahol K az arányossági tényező. A (2.22) és (2.23) egyenletek alapján az szakasz hossza:

.                                                                     (2.24)

Legyen a párhuzamos leképezések azonos meredeksége m. A 2.2. ábra szerint

,                                           (2.25)

melyből a  szakasz hossza:

                                                                  (2.26)

A (2.21), (2.24) és (2.26) egyenletek alapján:

,                 (2.27)

amelyből átrendezéssel megkapjuk az SPF–módszernek megfelelő szabályozási formulát:

.                                                  (2.28)

A (2.28) szerint tehát a káosz szabályozásához szükséges visszacsatolás (a perturbáció nagysága) egyenesen arányos a n-edik ciklusbeli metszéspont fixponttól vett távolságával az egydimenziós leképezésen. Innen származik a módszer elnevezése. A g szabályozási állandó értékét a (2.27) szerint számítjuk ki m és K értékének kísérleti meghatározása után.

Összefoglalva, az SPF–módszer szerinti káoszszabályozás algoritmikus lépései:

1. a kaotikus attraktor rekonstrukciója,
2. az egydimenziós leképezés elkészítése,
3. a szabályozandó fixpont meghatározása,
4. a leképezés elkészítése a bifurkációs paraméter kicsit eltérő értékénél,
5. a leképezések meredekségének meghatározása,
6. a K állandó meghatározása,
7. a g szabályozási állandó számítása,
8. az n-edik ciklusbeli x_nmetszéspont meghatározása,
9. a perturbáció nagyságának kiszámítása, s végül
10. a perturbáció alkalmazása.

Mivel az adatgyűjtés pontossága a kísérleti technika által mindig korlátozott, a rendszer kaotikus jellegéből – a kezdeti feltételekre való érzékenységből – következik, hogy a perturbáció hatására a rendszer – nagy valószínűséggel – nem pontosan a fixpontba, hanem csak annak közelébe kerül. Ha újabb perturbációt nem alkalmazunk, a pályavonalak előbb-utóbb eltávolodnak az instabilis fixpont környezetéből, és a rendszer továbbra is kaotikusan fog viselkedni. A káoszszabályozáshoz tehát az szükséges, hogy a (8)–(10) lépéseket ciklusonként elvégezve újabb és újabb perturbációt alkalmazzunk. Mivel a periodikus perturbációk hatására a pályavonalak egyre közelebb kerülnek a fixponthoz, a perturbációk is egyre kisebbek lesznek. Ha a rendszer végül a fixpontba kerül, akkor további perturbációra már nincs szükség. A szabályozó paraméter értéke ekkor azonos az eredetivel, ám most az aperiodikus viselkedés helyett előrejelezhető periodikus oszcillációt figyelhetünk meg. A káoszt megszelídítettük!

Káoszszabályozási kísérleteinkben azt tapasztaltuk, hogy az SPF–módszer sokkal hatékonyabb, ha a perturbációt nem a teljes ciklusban, hanem csak első kb. egyharmadnyi részében alkalmazzuk. Ennek elméleti magyarázatát megjelenés alatt álló közleményünkben adjuk meg [19]. Az SPF–módszer hatékonysága még azzal is tovább növelhető, hogy a szükséges perturbáció kiszámításakor figyelembe vesszük az előző ciklusban alkalmazott perturbáció nagyságát is (Dressler, 1992; Rollins, 1993). Ezt a módszert alkalmaztuk [12] közleményünkben.

A szakaszos módszerek előnye, hogy a fixpont körüli dinamika ismeretében pontos képletet tudunk adni a perturbáció nagyságának kiszámítására. Az értekezésben bemutatom, hogy a szakaszos módszerek akkor is sikeresen alkalmazhatók, ha ilyen képletet nem tudunk megadni. Az ún. mesterséges neuronhálózatok ugyanis egyszerűen „megtaníthatók” egy kaotikus rendszer dinamikájára, s ez a „tudás” már felhasználható a káoszszabályozás automatizálására [12].

Ha a fixpont Ljapunov–kitevője olyan nagy , hogy az egymást követő két metszés koordinátáira nem tudunk megbízható jóslást tenni, akkor a szakaszos módszerek már nehezen használhatók. Erre az esetre Hübinger és munkatársai (1994) dolgoztak ki egy eljárást, amelyben nem egy, hanem több Poincaré–síkot alkalmaznak, s így egy ciklus alatt több perturbációval stabilizálják a rendszert. Végtelen számú síkot feltételezve eljutunk a folytonos módszerekhez. Ezek teljes elméletét még nem dolgozták ki.

Az értekezésben bemutatott egyik közleményünkben [9] az ún. folytonosan késleltetett visszacsatolás módszerét (Pyragas, 1993) használtuk egy kaotikus elektrokémiai rendszer szabályozására. A Pyragas–módszer alkalmazásakor a perturbáció nagyságát, dp(t),a következő képlettel számítjuk ki:

,                                                          (2.29)

ahol x(t) a rendszer egy mért dinamikai változójának t időpontbeli értéke, t az ún. késleltetési idő, C pedig a szabályozási állandó. Könnyen belátható, hogy ez a módszer a kísérletező szempontjából sokkal egyszerűbb. További előnye még az is, hogy a perturbációk folytonos alkalmazása miatt a kísérleti zaj okozta hiba kisebb. Hátránya viszont az, hogy a szabályozási állandót és a késleltetési időt – általában – próbálgatással kell megállapítani.

Egy másik folytonos módszer, az ún. rezonancia-kontroll alkalmazásáról számolunk be [20] közleményünkben. Ebben az esetben a perturbáció nagyságát a következő képlettel számítjuk:

,                                                                   (2.30)

ahol g a perturbáció amplitudóját, v pedig frekvenciáját jelöli. Ez utóbbi értékét az x(t) jelsorozat Fourier–spektrumából lehet meghatározni.

A káoszszabályozásra kidolgozott eljárások hasznosnak bizonyulhatnak a bifurkációs diagramok teljes feltérképezésére is, mert segítségükkel kísérletesen nyomon követhető a stabilis és instabilis állapotok helyzetének változása a bifurkációs paraméter függvényében. A módszer teljesítőképességét talán az jelzi a legjobban, hogy sikerrel alkalmazták az ún. instabilis Turing–struktúrák stabilizására és nyomonkövetésére térbeli kaotikus rendszerekben (Petrov, 1995b). Az elmúlt évben kutatócsoportunkban mi is elkezdtük egy ilyen jellegű vizsgálatsorozatot. Célunk az, hogy teljesen feltérképezzük néhány oszcillációs és kaotikus elektrokémiai rendszer bifurkációs diagramját. Minthogy a bifurkációs diagram a rendszer dinamikai „ujjlenyomata", így ezek kiszámítása egy-egy feltételezett fizikai-kémiai modell alapján nagy segítséget jelenthet a rendszert legjobban leíró modell kiválasztásában. A dinamikailag helyes oszcilláló és kaotikus elektrokémiai modellek ismerete pedig nagyban segítheti az elektródrendszerekben megfigyelt klaszterképződés (Kiss, 2000; Wang, 2000) részleteinek megértését és hatékony módszerek kidolgozását a térbeli kaotikus jelenségek szabályozására.

Következő alfejezet